复数计算器

欢迎使用 复数计算器，这是一个强大的数学工具，用于执行复数运算，提供分步解答和交互式可视化。无论您是学习虚数的学生、分析交流电路的工程师，还是探索复平面的数学家，此计算器都能为您的所有复数计算提供全面的解决方案。

什么是复数？

复数是可以表示为 \( a + bi \) 形式的数，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数，\( i \) 是满足 \( i^2 = -1 \) 的虚数单位。数 \( a \) 称为复数的实部，\( b \) 称为虚部。

直角坐标形式

写为 \( z = a + bi \)，表示复平面上坐标为 (a, b) 的点。

极坐标形式

写为 \( z = r \angle \theta \) 或 \( z = re^{i\theta} \)，其中 r 是模，theta 是辐角。

虚数单位

符号 \( i \) 代表 \( \sqrt{-1} \)，使得方程如 \( x^2 + 1 = 0 \) 有解。

支持的运算

算术运算

加法

$$ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $$

减法

$$ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $$

乘法

$$ (a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $$

除法

$$ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $$

复数性质

模 (Modulus)： \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) - 到原点的距离

辐角 (Argument)： \( \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \) - 与正实轴的夹角

共轭 (Conjugate)： \( \overline{z} = a - bi \) - 关于实轴的反射

形式转换

直角坐标转极坐标

$$ z = a + bi \Rightarrow r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $$

极坐标转直角坐标

$$ z = r \angle \theta \Rightarrow a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta $$

幂和根

棣莫弗定理 (幂运算)

$$ (r \angle \theta)^n = r^n \angle (n\theta) $$

n 次方根

$$ \sqrt[n]{r \angle \theta} = \sqrt[n]{r} \angle \left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, ..., n-1 $$

如何使用此计算器

输入复数： 使用直角坐标形式（例如 3+4i, -2-5i）或极坐标形式（例如 5∠45°, 3∠π/4）。计算器会自动检测格式。

选择运算： 从算术运算、转换或函数（如模、辐角、幂和根）中选择。

输入附加信息： 对于二元运算，输入第二个复数。对于幂/根运算，输入指数。

点击计算： 查看直角坐标和极坐标形式的结果，以及详细的分步解答和复平面可视化。

复数的应用

电气工程

交流电路分析使用复阻抗来表示电阻、电容和电感。

信号处理

傅里叶变换使用复指数来分析和过滤信号。

量子力学

波函数是复数值，概率由模的平方给出。

控制系统

复平面上的极点和零点决定了系统的稳定性和响应。

常见问题

什么是复数？

复数是可以表示为 a + bi 形式的数，其中 a 和 b 是实数，i 是满足 i² = -1 的虚数单位。实部是 'a'，虚部是 'b'。复数扩展了实数系统，在数学、物理和工程的许多领域中都是必不可少的。

如何在直角坐标形式和极坐标形式之间转换？

从直角坐标 (a+bi) 转换为极坐标 (r 角度 theta)：计算 r = sqrt(a² + b²) 作为模，theta = arctan(b/a) 作为辐角。从极坐标转换为直角坐标：计算 a = r 乘以 cos(theta) 作为实部，b = r 乘以 sin(theta) 作为虚部。

什么是棣莫弗定理？

棣莫弗定理指出，对于极坐标形式的复数 z = r(cos theta + i sin theta) 和任意整数 n：z^n = r^n(cos(n 乘以 theta) + i sin(n 乘以 theta))。这个定理通过使用极坐标形式而不是重复乘法，使得计算复数的幂和根变得更加简单。

如何找到复数的 n 次方根？

要找到 z = r 角度 theta 的 n 个 n 次方根，请使用公式：root_k = r^(1/n) 角度 ((theta + 2 pi k)/n)，其中 k = 0, 1, 2, ..., n-1。这将在复平面上给出 n 个不同的根，它们均匀分布在半径为 r^(1/n) 的圆上。

复数有哪些应用？

复数用于电气工程中的交流电路分析、信号处理中的傅里叶变换、量子力学中的波函数、控制系统中的稳定性分析、流体动力学和解多项式方程。它们为仅用实数难以解决的问题提供了优雅的解决方案。

其他资源

复数 - 维基百科

复数 - 可汗学院

棣莫弗公式 - 维基百科

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