式的次数

（一元）多项式的次数

多项式是像这样的：

多项式的例子

这个有3项

一元多项式（像 x）的次数是：

……变量最大的指数。

更多例子：

次数是 1（没有指数的变量

的指数其实是 1）

次数是 3 （x 的最大指数）

次数是 5 （x 的最大指数）

次数是 2 （z 的最大指数）

次数名称

我们可以为次数命名！

次数

名称

例子

0

常数

7

1

线性

x+3

2

二次

x2−x+2

3

三次

x3−x2+5

4

四次

6x4−x3+x−2

5

五次

x5−3x3+x2+8

例子：y = 2x + 7 的次数是 1，所以它是 线性方程

例子：5w2 − 3 的次数是 2，所以它是 二次

高次数的方程通常比较难解：

解线性方程很容易

解二次方程难一些

解三次方程更难，但可以用公式来帮忙

四次方程也可以解，但公式非常复杂

五次方程没有公式，而且有时不能解！

多元多项式的次数

当一个多项式有多于一个变量，我们需要看每一项。项被 + 或 - 号隔开：

多元多项式例子

每一项：

项的次数是项里每个变量的指数的和，

最大的项的次数就是多项式的次数。

例子：这多项式的次数是什么：

逐项看：

5xy2 的次数是 3 （x 的指数是 1，y 的指数是 2， 1+2=3）

3x 的次数是 1 （x 的指数是 1）

5y3 的次数是 3 （y 的指数是 3）

3 的次数是 0 （没有变量）

最大的次数是 3（有两项的次数是 3），所以多项式的次数是 3

例子：这个多项式的次数是什么：

4z3 + 5y2z2 + 2yz

逐项看：

4z3 的次数是 3（z 的指数是 3）

5y2z2 的次数是 4（y 的指数是 2，z 的指数是 2，2+2=4）

2yz 的次数是 2（y 的指数是 1，z 的指数是 1，1+1=2）

最大的指数是 4，所以多项式的次数是 4

写下来

除了说"（某物）的次数是 3"，我们还可以这样写：

当式子是个分数时

我们可以这样算出有理式（分数形式）的次数： 上面（分子）的次数减下面（分母）的次数。

以下有三个例子：

计算其他类型的式

警告： 高级理念！

有时我们可以用除法来计算一个式子的次数…….

函数的对数除以

变量的对数

……用越来越大的变量来计算，看看答案"趋近"什么值。

（正确来说，我们应该计算 ln(f(x))/ln(x) 在无限远的极限，但在这里我想简单点做）。

附注："ln"是 自然对数函数。

一个例子：

例子： （3 加 x 的平方根）的次数是什么？

我们用越来越大的 x 来计算式的值：

x

ln()

ln(x)

ln()

/ ln(x)

2

1.48483

0.69315

2.1422

4

1.60944

1.38629

1.1610

10

1.81845

2.30259

0.7897

100

2.56495

4.60517

0.5570

1,000

3.54451

6.90776

0.5131

10,000

4.63473

9.21034

0.5032

100,000

5.76590

11.51293

0.5008

1,000,000

6.91075

13.81551

0.5002

看列表：

当x越来越大， ln() / ln(x) 越来越接近 0.5

故此次数是 0.5 （1/2）

（附注：这和 x½ = x 的平方根吻合。查看分数指数）)

一些特殊次数

式子

次数

log(x)

0

ex

∞

1/x

−1

1/2

度（几何）代数索引